模型设定
- 有有限个地点，数量为$M$（真实的或者虚拟的），有有限个个体，数量记为$N$。
- 现在的所在的一个地点记为$\alpha$，下一个地点记为$\beta$这个地点在时间t范围内被访问的次数记为$k_{\beta}$。
- ”’随机游走模型”’：去每一个地方（不管去过的地方，还是没有去过的地方）的概率相等，记为1
- ”’记忆偏好假设”’：去过的地方再去的概率较大，与去过的次数成正比，系数是$\lambda$，即访问去过地点的概率是：$\lambda k_{\beta}$。
- 对于没有去过的地方也要一个概率，解决方法是令其概率为1，去过的地方的概率也加上1，变为：$1 + \lambda k_{\beta}$。 **因为没有去过的地方的$k_{\beta} = 0$，所以也可以表达为$1 + \lambda k_{\beta}$。
去一个地方的概率还需要进一步归一化： $P_{\rightarrow \beta} = \frac{1 + \lambda k_{\beta}}{\sum_{\gamma = 1}^{m} ( 1 + \lambda k_{\beta})}$ 公式（1）
分析问题
如上图所示，在时间t范围内去了S个地点，每个时间步去一个地方，每个地点去过的次数记为：$k_{s_1}, k_{s_2}, …, k_{s_s}$
那么显然 $\sum k_{s_j} = t$
一个人去一个的地方的概率空间有两部分组成： * 没有去过的地方M-S: 去每一个没去过的地方的概率是1，加到一起是M-S * 去过的地方 S: 去每一个去过的地方的概率是 $ 1 + \lambda k_{s_j}$, 加到一起是：
$\sum_{j = 1}^{S} ( 1 + \lambda k_{s_j} ) = S + \sum_{j = 1}^{S} k_{s_j} = S + \lambda t $
因为没有去过的地方$\lambda = 0$，所以”’去所有地方的概率之和”’可以不失一般性地表达为：
$\sum_{j = 1}^{M} ( 1 + \lambda k_{\gamma} ) = M + \lambda t $ 公式（2）
去所有地方的总概率为：$ M -S + S + \lambda t = M+ \lambda t$
The number of distinct locations, S(t)
那么去一个新地方的概率可以表达为：
$P_{new} = \frac{M-S}{M + \lambda t}$
需要注意的是每一个单位时间t范围内S的增加就是$P_{new}$，即：
$\frac{\partial S}{\partial t} = P_{new} = \frac{M-S}{M + \lambda t}$
2. The visit probability of positions discovered at different time, P(z)
我们想要分析的是一个地点被多次访问的概率。
- 一个地点Z被访问k次记为$k_z$ *第一次访问Z地点的时间记为$t_z$
已经知道去一个地点的可能性可以表达为：$1 + \lambda k_z $
根据公式（2），去所有地方的可能性是：$M + \lambda t$
想要分析的问题是$k_z$在一单位时间的增量：
$\frac{d k_z}{d t} = \frac{1 + \lambda k_z}{M + \lambda t}$
3 The visit probability of each position P(k)
每一个地点有一个第一次被访问时间$t_{\beta}$被访问的次序$Z$。如右图。
- 这样我们知道$k(z)$关系， ** 假设它是单调递减的，可以得到它的逆函数$z(k)$，也是单调递减的， *** 它的斜率即其导数$z'(k)$，如右图。
$k = x$等价于$| \Delta z | = | z'(k = x) \Delta k| $
那么$k = x$的概率可以表达为：
$P(k = x) = \frac{\Delta z}{S} = \frac{z'(k = x) \Delta k}{S}$
因为k是整数，且$\Delta k = 1$，那么有：
$P(k) = \frac{z'(k) \Delta k}{S(t)}$
微分方程
$\int \frac{1}{a + bx} = \frac{1}{b} log(a + bx) + constant $ 公式 (1)
$\frac{dS}{dt} = \frac{M- S}{ M + \lambda t}$ 公式 (2)
$ \frac{dS}{M-S} = \frac{dt}{M + \lambda t} $ 公式 (3)
$\int \frac{1}{M-S} dS = \int \frac{1}{M + \lambda t} dt $ 公式 (4)
由公式（1），可以知道公式（4）两边积分的结果：
$ – log(M-S) = C_1 + \frac{1}{\lambda} log( M + \lambda t)$
$ log(M-S) = C_2 – \frac{1}{\lambda} log( M + \lambda t)$
$ log(M-S) = log 10^{C_2} – \frac{1}{\lambda} log( M + \lambda t)$
$ log(M-S) = log \frac{10^{C_2}}{( M + \lambda t)^{\frac{1}{\lambda}}}$
$ log(M-S) = log \frac{C}{( M + \lambda t)^{\frac{1}{\lambda}}}$
$ M-S = \frac{C}{( M + \lambda t)^{\frac{1}{\lambda}}}$
$ S = M – C (\frac{1}{M + \lambda t})^{\frac{1}{\lambda}}$ 公式 （5）
由公式（5）如果还知道S和t的初始状态，比如t = 1时， S = 1， 那么就可以求出来C。
实证结果
foursquare-dataset
https://sites.google.com/site/yangdingqi/home/foursquare-dataset
参考文献
- Lai and Huang 2014 Scaling and correlation of human movements in cyberspace and physical space. PhysRevE.90.050802
- Yi-Ming Zhao, An Zeng⋆, Xiao-Yong Yan†, Wen-Xu Wang, Ying-Cheng Lai. Universal underpinning of human mobility in the real world and cyberspace. arXiv 2015.12.04
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